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原题：$\triangle ABC$为内接于$\odot O$的锐角三角形，过$A$作$AD//BC$交$\odot O$于另一点$D$，类似定义$E$、$F$。$\triangle ABC$的垂心为$H$，$\triangle DEF$的内心为$I$。证明：$O$为$HI$中点。
证明：
$\blacktriangleright$辅助线：把$A\sim F$这六个点关于$\odot O$的对径点取出来，分别叫$A’\sim F’$。
$\blacktriangleright$Step 1：由于$AD//BC$，$AD\bot AD’$，所以$AD’\bot BC$，$AD’$过$H$。同理，$BE’$、$CF’$也过$H$，$H$是$AD’$、$BE’$、$CF’$的交点。
$\blacktriangleright$Step 2：由于$\overgroup{AF}=\overgroup{BC}=\overgroup{AE}$，所以$A’$是$\overgroup{EF}$的中点，$A’D$过$I$。同理，$B’E$、$C’F$也过$I$，$I$是$A’D$、$B’E$、$C’F$的交点。
$\blacktriangleright$Step 3：因为$A’\sim F’$取的都是对径点，所以$AD’$与$A’D$、$BE’$与$B’E$、$CF’$与$C’F$分别关于点$O$对称。因此，点$H$和点$I$也关于点$O$对称，即$O$为$HI$中点。
